W czasie codziennej, zaleconej przez lekarza przejażdżki, rowerzysta przejechał połowę trasy z prędkością 10km/h. Wtedy zorientował się, że jedzie za wolno, bo zalecenia mówiło o średniej prędkości równej 20km/h. Z jaką prędkością musi jechać kolarz drugą połowę trasy, by średnia prędkość właśnie tyle wyniosła
To zadanie wygląda na trywialne, jednak wiele osób podaje błędną odpowiedź. Jak to możliwe? Na początek podajmy odpowiedź poprawną, by się upewnić, że czytelnik także nie wpadł w pewną pułapkę. Nie ma takiej prędkości, albo ściślej – jest to prędkość nieskończona. Dlaczego, bo w tym samym czasie musimy pokonać dwukrotnie większy dystans.
Inaczej byłoby, gdybyśmy mieli do czynienia ze z połową czasu, ale z połową dystansu. Wtedy wszystko byłoby w porządku – i moglibyśmy zastosować zwykłą średnią. Odpowiedź 30km.h byłaby jak najbardziej poprawna.
Dlaczego akurat w przypadku naszego zadania powinniśmy użyć średniej harmonicznej1. Możemy powiedzieć, że to wynika ze wzoru na prędkość średnią, musimy wysumować drogę a potem wysumować czas… W porządku, ale w przypadku zależności od drogi – możemy użyć po prostu średniej arytmetycznej i niczego oddzielnie nie sumować przed dzieleniem.
Co ciekawe – średnią arytmetyczną stosujemy wtedy gdy uśredniana wielkość zależy odwrotnie proporcjonalnie od wielkości którą używamy jako wagę uśredniania, a harmoniczną – czyli średnią odwrotności – gdy zależność jest prostą proporcjonalnością.
Świat jest dziwny.