Przyspieszenie ziemskie – oznaczane we wzorach małą literą „g” w wielu przypadkach możemy zaokrąglić nawet do 10m/s² – chociażby po to, by ułatwić sobie obliczenia. Co prawda wynik nie będzie ścisły, ale błąd na poziomie 2% nie ma specjalnego znaczenia do wyrabiania sobie intuicji pozwalających szacować. Jednak z czystej ciekawości, można by się dowiedzieć jaka jest wartość przyspieszenia ziemskiego w pracowni fizycznej w której wykonywane są doświadczenia. I najlepiej – wyznaczyć to doświadczalnie.

Możemy na przykład mierzyć prędkość spadającej kulki – ale tu musimy posłużyć się albo bardzo dokładnym pomiarem prędkości, albo jej pośrednim pomiarem. Pomiarem który może być obarczony sporym błędem. Dlatego lepiej do naszych doświadczeń nadaje się – wahadło, w którym okres drgań zależy od... Ale nie uprzedzajmy faktów.

Rozpatrzmy ruch wahadła matematycznego, które przypomnę, jest punktową masą zawieszona na cienkiej, nierozciągliwej i nieważkiej nici. W praktyce oczywiście masa nigdy nie jest punktowa, tylko w miarę sensownie skoncentrowana – na przykład w postaci ołowianego, lub choćby metalowego odważnika (ewentualnie dużej nakrętki). Nić nie musi być cienka, byle opory powietrza nie zaczynały grać roli, ani specjalnie nierozciągliwa. To znaczy nie polecałbym wieszać wahadła na gumce, ale bawełniane lub jedwabne nici są jak najbardziej O.K. Nie musi też być „nieważka” byle tylko jej masa była niewielka w porównaniu z masą odważnika. Do doświadczenia z powodzeniem nada się nakrętka M20 powieszona na zwykłej nitce krawieckiej, lub na grubej bawełnianej nici dostępnej w sklepach budowlanych.

Takie wahadło, po odchyleniu z położenia równowagi i zwolnieniu, zaczyna się wahać. W ruchu drgającym zachodzi przemiana energii potencjalnej wahadła wychylonego o maksymalny kat, w energie kinetyczną, gdy ciężarek mija z największa prędkością położenie równowagi. Ruch ten odbywa się pod wpływem siły, która powinna być proporcjonalna do wychylenia.

Zobaczmy jakie siły działają w takim wahadle:

Siła F_g – to siła grawitacji działająca na masę¹. Siłę tą możemy rozłożyć na dwie składowe. Jedna działa wzdłuż nici, która reaguje siłą przeciwnie skierowaną. Składowa prostopadła – odpowiada za ruch, a właściwie za przyspieszenie w kierunku położenia równowagi.

Dla niewielkich wychyleń – do 4 stopni² – możemy zastąpić funkcje sinus funkcja liniową:

Mając siłę, możemy wyrazić przyspieszenie:

Ale przyspieszenie – to nic innego jak druga pochodna zależności położenia od czasu (pierwszą pochodną jest prędkość).

Jeśli obliczone przez nas przyspieszenie jest tym samym co druga pochodna położenia, możemy zapisać to w postaci równania różniczkowego:

Zamiast przyrównania, użyliśmy tu zapisu typowego dla takich równań – czyli przyrównanie wyrażenia będącego operacją na nieznanej funkcji (tu: zależności położenia od czasu) – do zera.

Jedną z funkcji która spełnia to równanie – jest funkcja okresowa. Zapiszmy najprostszą jej formę, zakładając fazę początkową równa zero i jednostkową amplitudę:

Podstawiają tą funkcję do równania, otrzymujemy:

Wartość ω – to nic innego jak przelicznik pozwalający zamienić czas na kąt - czyli prędkość kołowa. Będzie ona dwukrotnie będzie wychodziła z pod funkcji sinus przy każdorazowym różniczkowaniu zgodnie z regułą liczenia pochodnej funkcji złożonej.

Równanie to musi być spełnione dla wszystkich chwil czasu. Jest to spełnione tylko wtedy gdy amplitudy obu członów po lewej stronie równania będą takie same:

Teraz wystarczy zauważyć, że okres drgań, czyli zatoczenie przez wahadło pełnego cyklu, to droga – czyli kąt pełny - 2π – podzielony przez prędkość kołową.

Teraz już tylko proste przekształcenia dzielą nad od ostatecznego wzoru:

… który pozwoli na wyliczenie wartości przyspieszenia ziemskiego na podstawie pomiaru okresu drgań wahadła o znanej długości. Licząc okres stoperem, dobrze jest policzyć czas kilku lub lepiej kilkudziesięciu okresów. Policzony okres będzie miał większą dokładność.