Możemy sobie to wyobrazić? Odległość od punktu, jest taka sama jak okrążenie go w takiej odległości? Czy to w ogóle możliwe. Możliwe, a nawet łatwe do wyobrażenia, jeśli wyjdziemy poza przyzwyczajenia płaszczyzny na której na co dzień żyjemy, i wyobrazimy sobie stożek. Nawet dość ostry – taki w którym odległość od wierzchołka jest taka sama, jak droga dookoła. Można nawet pokusić się o policzenie stosunku wysokości do średnicy – ostrosłupa zbudowanego z takiego stożka.

Czyli można?

Niby tak, ale tą właściwość ma tylko jeden punkt. Czy jednak dałoby się tak określić przestrzeń, by możliwe w niej było takie zachowanie odległości? Dla każdego punktu?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy odwołać się do tego, co w matematyce nazywamy odległością a ściślej – metryką. Może nią być dowolna funkcja

Spełniająca trzy postulaty:

• Funkcja jest określona dodatnio. Odległością pomiędzy dwoma różnymi punktami jest liczba dodatnia.
• Odległość punktu od samego siebie wynosi zero
• Spełniona jest nierówność trójkąta:

Wróćmy się na chwilę do określenia funkcji – użyłem tu kilku symboli które nie do końca muszą być znane a przynajmniej pamiętane ze szkolnej matematyki. Zdanie zapisane w pierwszym wzorze powinniśmy czytać: „f jest takie że przyporządkowuje parze dowolnych elementów ze zbioru omega (to jest nasza przestrzeń) przypisuje element zbioru liczb rzeczywistych”. No może nie zaznaczyłem „dowolnych” w sposób jawny (należałoby użyć kwantyfikatora ogólnego). Podobnie nie zapisałem tu, że taka wartość zawsze istnieje, ale rzeczy oczywistych często się nie zapisuje, by nie zaciemniać tego co jest istotne.

Wracając do naszego pytania, czy można tak określić funkcję miary, by droga dookoła była taka sama jak droga bezpośrednio do celu? Zauważmy, że z dwoma pierwszymi postulatami – nie ma problemu. Czy jednak da się spełnić nierówność trójkąta mówiącą, że droga bezpośrednia jest najkrótsza?

Na pierwszy rzut oka, wszystko wydaje się w porządku:

Równanie trójkąta jest spełnione dla dowolnych odcinków, jednak jeśli przyjrzymy się bliżej nieco bardziej złośliwemu przypadkowi, zauważymy, że coś tu nie gra. Weźmy trzy takie punkty, by odległości między nimi były takie same. I wystartować z jednego z nich obchodząc drugi tak żeby przejść przez trzeci. Skomplikowane? Popatrzmy na rysunek: Chcemy obejść dookoła punkt B, startując z punktu A, po okręgu przechodzącym przez punkt C. Możemy to zrobić, bo punkt C leży w tej samej odległości od punktu B co punkt A – w końcu założyliśmy, ze punkty te są równoodległe.

Jednak z drugiej strony, obchodząc B, między A i C pokonujemy tylko ułamek drogi dookoła, a więc ułamek bezpośredniej odległości. Coś tu nie gra. Może nie da się tak zdefiniować miary w przestrzeni dwuwymiarowej, a może źle podchodzimy do pojęcia okręgu. A może też trzeba osłabić nieco nasze żądanie, wymagając jedynie – by istniała dla każdego punktu taka odległość w której okrążenie ma taką samą długość co droga do punktu.

A jednak istnieje taka miara dla dwuwymiarowej płaszczyzny, jednak jest ona mało użyteczna. Jest to miara która każdym dwu punktom przypisuje… Zero!

A czy liczba π mogłaby mieć inną wartość – powiedzmy na przykład 3. Albo 5? Na to pytanie pozwolę sobie nie odpowiedzieć zostawiając czytelnikowi samodzielne rozważania będące całkiem niezłym pretekstem do studiowania trygonometrii, a także, co może wydać się dziwne - rachunku prawdopodobieństwa