Algebra – to dział matematyki zajmujący się działaniami matematycznymi prowadzonymi na elementach pewnego zbioru. Zazwyczaj, w szkole mówimy o algebrze określonej na zbiorze liczb rzeczywistych definiującej działania dodawania oraz mnożenia. Działania te mają pewne konkretne właściwości – na przykład posiadają element neutralny – czyli taki, który dodany lub pomnożony przez jakiś element daje w wyniku ten sam element. Inną ciekawą właściwością, jest prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:

a•(b+c) = a•b + a•c

Działania możemy różnie definiować, podobnie jak możemy różnie wybierać zbiory na których je określamy. Pamiętamy ze szkoły, gdy wprowadzano liczby naturalne, by potem rozszerzyć ich zbór o liczby całkowite – tylko po to by dodawanie miało operację odwrotną, następnie dodano liczby wymierne, by i mnożenie nie czuło się osamotnione, by trochę na wyrost przejść do liczb rzeczywistych, chociaż dopiero liczenie granic ciągów usprawiedliwia ich istnienie. Ale na tym się nie kończy. Ci którzy wybiorą się na studia techniczne poznają liczby zespolone, a jeśli ktoś będzie chciał studiować matematykę, dowie się jak można konstruować bardziej złożone liczby mające wiele ciekawych cech.

Tyle w temacie komplikacji. Ale czy można pójść w drugą stronę – zbudować w pełni sprawny i funkcjonalny system liczenia który byłby znacznie prostszy? Na przykład – czy można stworzyć algebrę zawierającą działania dodawania i mnożenia na ograniczonym zbiorze liczb? A jeśli można to na ile mały może to być zbiór?

Wydaje się, że algebra pracująca na ograniczonym zbiorze nie jest możliwa, bo dodawanie jedności w końcu wyprowadzi nas poza ten zbiór. Ale jeśli przekonstruujemy działania – możemy ten problem ominąć. Popatrzmy na operacje dodawania podzbiorów pewnego zbioru zdefiniowaną jako wszystkie elementy zawarte z zbiorach będących argumentami dodawania. Jeśli wyjściowy zbiór jest ograniczony, to liczba podzbiorów także jest ograniczona a dodawanie nigdy nie wyjdzie poza dopuszczalny zbiór wartości.

Trudniej zdefiniować mnożenie, ale chyba jasne jest o co chodzi – o to by działania zdefiniować nieco inaczej niż jesteśmy do tego przyzwyczajeni. Jak to więc jest z naszym zbiorem wartości?

Cóż. Można zbudować matematykę na zbiorze jednoelementowym. Jedyną liczbę można będzie do siebie dodawać i przez siebie mnożyć dostając w wyniku tą samą liczbę. Trudno jest jednak znaleźć zastosowanie dla takiej arytmetyki.

Przy zbiorze dwóch liczb – zaczyna się robić ciekawie. Mając do dyspozycji liczby 0 i 1 możemy zbudować całkiem sensowną arytmetykę definiując operacje dodawania oraz mnożenia:

Zauważmy, że zbiór ten składa się z elementu neutralnego mnożenia oraz elementu neutralnego dodawania. Co ciekawe ponieważ zbiór liczb jest ograniczony i niewielki, nawet w przypadku dość złożonych wyrażeń – łatwo przejrzeć wszystkie możliwości i ręcznie sprawdzić, czy jakieś twierdzenie jest prawdziwe zamiast analizować i dowodzić poprzez przekształcanie. Zobaczmy jak to działa na przykładzie rozdzielności dodawanie względem mnożenia:

Arytmetyka dwuwartościowa nie jest tylko wymysłem, lecz stanowi bazę dla bardzo ważnej dziedziny matematyki – logiki matematycznej z którą spotykamy się nie tylko na kursach matematyki lecz także prawa – bo określenie kiedy zdanie jest prawdziwe lub fałszywe oraz poprawne stosowanie reguł wnioskowania ma tam pierwszorzędne znaczenie.

Działania w takiej arytmetyce mają tez pierwszorzędne znacznie dla współczesnej elektroniki cyfrowej. Jeśli ograniczymy się do dwóch sygnałów elektrycznych które możemy przesyłać i przetwarzać, bardzo łatwo możemy zrealizować elementy elektroniczne które będą odpowiadały poszczególnym działaniom, a w oparciu o te proste działania możemy zrealizować układy które będą odpowiadały bardzie złożonym funkcjom pozwalającym na przetwarzanie liczb w zapisie dwójkowym.

Tak właśnie działają współczesne komputery – w oparciu o arytmetykę dwuwartościową pracująca na bardzo wielu zmiennych. Pojedynczy procesor składa się z milionów bramek logicznych – elektronicznych realizacji prostych operacji arytmetyki dwuwartościowej, realizując bardzo skomplikowane, ale dające się wyrazić równania logiczne o bardzo wielu zmiennych (pojedynczy bajt – to osiem wartości logicznych).

Arytmetyka dwuwartościowa doczekała się specjalnych technik i technologii upraszczających wyrażenia, a ze względu na dużą liczbę zmiennych i możliwość różnej realizacji zadanych obliczeń – obecnie optymalizacje wykonują skomplikowane programy których algorytmy cały czas są rozwijane.

Wydawać by się mogło, że algebra logiczna jest bardzo prosta i w zasadzie nie ma w niej nic ciekawego. Tymczasem jest podstawą całej współczesnej elektroniki i informatyki.