Średnia ocen, jest traktowana w szkole jako prosty miernik sukcesu – zarówno ucznia, jak i nauczyciela. Z tym, że w tym drugim przypadku dotyczy to ocen przyznanych przez kogoś z zewnątrz – na przykład na egzaminach państwowych. Średnia jest wygodna – to jedna liczba, z dokładnie określonego zakresu, przy pomocy której łatwo skategoryzować uczniów na lepszych i gorszych, nie tylko z konkretnego przedmiotu, ale także ogólnie. Niestety później okazuje się, że nie ma to wiele wspólnego z rzeczywistością – uczniowie o niższej średniej – często odnoszą sukces w dorosłym życiu, zaś ci, którzy byli dobrzy ze wszystkiego – mają z tym problem.

Dzieje się tak, ponieważ materiał jaki mamy do opanowania w szkole jest bardzo szeroki, i poza przypadkami ewidentnego geniuszu¹, ktoś kto uczy się wszystkiego czego wymaga szkoła, ma niewiele czasu na rozwój zainteresowań, które potem mogłyby procentować. Jednak to właśnie średnia – jako coś co można łatwo porównywać, jest tak istotne. Czy dlatego że daje pozory sprawiedliwości, bo w końcu stoi za metodą liczenia – matematyka, a tej nie da się oszukać? Może, ale na początek sprecyzujmy, bo nie każda średnia jest liczona tak samo. Typowa średnia ocen – to zwykła średnia arytmetyczna, ewentualnie – średnia ważona – bo oceny z zadań domowych są mniej istotne niż te z odpowiedzi, czy kartkówek, które znów są mniej ważne niż sprawdziany. Możemy zrezygnować z przypisywania wag, ale wtedy ocenę ze sprawdzianu musielibyśmy zapisywać w dzienniku trzy lub cztery razy, a tak wystarczy czerwony długopis, albo, w przypadków dzienników elektronicznych – przypisanie kategorii.

Średnia arytmetyczna – to suma poszczególnych liczb podzielona przez ich liczbę:

Czy można liczyć inaczej? Oczywiście! Można na przykład określić umiejętności – jako średnią geometryczną:

Tym razem liczby mnożymy przez siebie i wyciągamy z wyniku pierwiastek. Średnia dobra jak każda inna, jednak nie widzę niektórych polonistów, którzy potrafiliby szybko odpowiedzieć na pytanie „Co mi wychodzi na koniec roku?”.

Mamy także średnią harmoniczną:

Która z nich jest prawdziwą średnią? Cóż, dla ustalonej wartości prawdy – może to być każda. A mamy jeszcze średnie – logarytmiczne, wykładnicze i wiele, wiele innych. I każda z nich najlepiej się nadaje do konkretnych zastosowań. Zresztą w niektórych zastosowaniach lepiej użyć mediany lub dominanty.

Ale skoncentrujmy się na trzech, góra czterech, najczęściej stosowanych i zobaczmy która z nich najbardziej by się nam opłacała. Weźmy sobie kilka ocen z dziennika – i zobaczmy co nam wyjdzie. Wygodnie będzie użyć do tego arkusza kalkulacyjnego. W którym policzymy odpowiednie średnie z pięciu ocen:

Wygląda na to, że jednak średnia arytmetyczna najbardziej się nam opłaca. Sprawdźmy jeszcze dla innych liczb:

Tu przy innych średnich mielibyśmy kłopoty. Lecz czy są takie zestawy ocen dla których to nie średnia arytmetyczna byłaby w tej trójce najbardziej łaskawa? W przypadku ocen szkolnych, możemy oczywiście przetestować wszystkie możliwości. W końcu różnych ocen jest skończona liczba, więc wystarczy mieć odpowiednio dużo czasu. Matematykom jednak takie rozwiązanie się nie spodoba, a hipoteza jest na tyle ciekawa, że na pewno ktoś się nią już zajął: Był to wybitny Francuzki matematyk, Augustine, Louis Cauchy (czyt. Koszi), który udowodnił, że dla dowolnego zbioru liczb, ich średnia arytmetyczna jest większa lub równa średniej geometrycznej, a ta jest większa lub równa średniej harmonicznej. Ponieważ są pewne problemy z pierwiastkowaniem liczb ujemnych, oraz z dzieleniem przez zero – ograniczamy się jedynie do liczb dodatnich.

Czy nie ma lepszego sposobu liczenia średniej ocen? Oczywiście jest i to niewątpliwie bardzo wiele. Na początek warto zauważyć, że wymienione tu średnie – są szczególnymi przypadkami średniej potęgowej:

Przy wartości k=1 – mamy średnią arytmetyczną – to łatwo zauważyć. Nieco więcej matematycznej spostrzegawczości potrzeba, by dostrzec w średniej harmonicznej – średnią potęgową dla k=-1. Dowód, że średnia geometryczna – to przypadek średniej potęgowej dla k=0 wymaga już trochę zabawy z przejściami granicznymi, więc musi, drogi czytelnik, mi uwierzyć na słowo, albo samodzielnie siąść i policzyć.

Okazuje się że twierdzenie Couchy’ego można uogólnić: Średnia potęgowa, przy poręce k z dowolnego zbiory liczb jest równa lub większa od średniej potęgowej przy potędze l<k z tego zbioru:

Możemy więc zaproponować do liczenia oceny końcoworocznej - średnią kwadratową (k=2) która wyraźnie faworyzuje wyższe noty:

Szału nie ma, ale zawsze jest nieco lepiej. Oczywiście lepiej byłoby przy wyższych potęgach. I znów musimy się uciec do liczenia granic, ale jeśli k będzie dążyć do zera – nasza średnia zwróci po prostu wartość maksymalną, a jeśli do minus nieskończoności – minimalną. Jeśli więc weźmiemy pod uwagę wybrany ciąg liczb, a wartość średniej potęgowej będzie funkcją zależną od k, to na mocy tego co już teraz wiemy, będzie to funkcja ograniczona przez najmniejszą i największą z liczb w ciągu, a do tego będzie to funkcja niemalejąca. To bardzo ciekawy fakt, choć pewnie, na co dzień, mało użyteczny.

• https://pl.wikipedia.org/wiki/Średnia_geometryczna
• https://pl.wikipedia.org/wiki/Średnia_harmoniczna
• https://pl.wikipedia.org/wiki/Nierówność_Cauchy’ego_o_średnich
• https://pl.wikipedia.org/wiki/Średnia_potęgowa