Matematyka jest niezwykle ścisła i zakłada się, że jeśli czegoś w matematyce się dowodzi – robi się to porządnie. Można jednak trafić w sieci na dowody które są nie do końca poprawne, choć znalezienie błędy może nastręczać duży problem. Do takich błędów należy ten, który znalazłem ostatnio w sieci.
Błędne dowody są na tyle popularne, że są tacy który traktują je poważnie, widząc w pewnych nadużyciach – głębsze prawa natury. Dobrym przykładem jest dowód, że suma wszystkich liczb całkowitych równa się -1/12, bo ma być podobno receptę na renormalizację energii próżni, która, jak twierdzą fizycy kwantowi – jest realizacją wszystkich możliwości tyle że w połowie, a więc powinna być nieskończona. Mo chyba, że suma wszystkich liczb całkowitych będzie niewielka i w miarę możliwości – ujemna. Wystarczy lekko tylko zmodyfikować przejście graniczne – i voila: próżnia może istnieć. Tu trudno znaleźć błąd, bo obliczenia wyglądają prawdopodobnie, a i nasze codzienne doświadczenie wykazuje, że otaczający świat jednak istnieje.
Znacznie częściej możemy znaleźć dowody bazujące na obustronnym pomnożeniu przez zero – co łamie symetrię równania w sposób oczywisty zamieniając równoważność – na implikację. Oczywiście to mnożenie musi być gdzieś ukryte, ale w ten sposób łatwo udowodnimy, że wszystkie kąty są proste albo, że wszystkie liczby są równe. Jednak ostatnio trafiłem na bardzo ciekawy przypadek takiego dowodu, a że używamy w nim liczb zespolonych – błąd znaleźć jest znacznie trudniej, i to nie z powodu złożoności ale, przewrotnie – prostoty.
Popatrzmy na dowód:
Wygląda całkiem poprawnie a jednak – to przecież niemożliwe. Ale patrząc krok po kroku – trudno doszukać się błędu. Pewnym problemem może być pierwiastkowanie liczb ujemnych, ale to właśnie po to stworzono liczby zespolone – by móc pierwiastkować wszystkie liczby. I wszystkie liczby zespolone mają swój pierwiastek kwadratowy. Także (-1) – jest nim jednostka urojona zapisywana jako liczba i o takiej właściwości, że jej kwadrat jest właśnie równy (-1). Tu możemy dopatrzeć się jakiegoś przekrętu, ale niestety i tu – wszystko wygląda poprawnie.
Cóż, nie musimy wpadać w kompleksy. Znalezienie błędu zajmuje trochę czasu nawet osobom o wykształceniu technicznym. Dlatego proponuję przerwać w tym miejscu lekturę i samodzielnie się zastanowić.
Jeśli jednak brakuje nam cierpliwości, albo wydaje się nam, że rozwiązanie wymaga wyższej matematyki spieszę wyjaśnić, że problemem jest zamiana pierwiastka iloczyny na iloczyn pierwiastków. Operacja którą wolno zrobić wyłącznie wtedy, gdy po rozdzieleniu oba pierwiastki istnieją.
- „Ale przecież pierwiastek z liczby (-1) istnieje i jest równy i!
Tak, istnieje, ale w zbiorze liczb zespolonych, a nie w rzeczywistych, i to jest problem, bo w zbiorze liczb zespolonych – pierwiastkowanie nie jest funkcją! Jedna liczba zespolona może mieć więcej pierwiastków – i tu jest problem. W równaniu – wybieramy tylko jeden, dlatego nie możemy napisać równości między krokiem 3 i 4. Aby równanie było spełnione, musielibyśmy uwzględnić oba pierwiastki liczby 1 – zarówno dodatni jak i ujemny, i jedne z nich odrzucić jako wprowadzony sztucznie przez podniesienie do kwadratu.